Creo que necesitas encontrar un pasatiempo o interés compartido que puedas hacer juntos: ¿arte, visitas a museos, teatro?
No hay nada de malo en ser introvertido, pero hay un problema si no tiene nada que decirse el uno al otro. No tener nada en común no es lo mismo que ambos siendo tímidos.
Parece que realmente no se conocen muy bien y si quieren que la relación dure, uno o ambos deben comenzar a hablar.