Un problema matemático es el siguiente. ¿Cómo puedo averiguar los dos enteros?

Answer 1

Es curioso cómo la respuesta a un problema con palabras tan simples es inesperadamente compleja. Al principio pensé que sería fácil de resolver. Pero a medida que fui más profundo, no parecía nada simple. Pero para entonces estaba demasiado metido en eso como para rendirme. Ahora tenía que terminarlo y terminé escribiendo un programa para encontrar la respuesta. Esto es lo que mi programa encontró:

Se dieron cinco condiciones:

1. Los dos números son diferentes y pueden variar de 2 a 99
2. B no sabe la respuesta.
3. B sabe que A tampoco sabe la respuesta.
4. Ahora A sabe la respuesta.
5. Ahora B también sabe la respuesta.

La respuesta es (4, 13) .
[Gracias Lu Yong por ayudarme a corregir esto]

Curiosamente, aunque (4, 13) es la única respuesta que satisface todas las condiciones, otras 85 parejas se acercan. Estos 85 pares satisfacen las cuatro primeras, pero no la quinta condición, es decir, con estos pares de números, B no sabrá la respuesta, incluso después de que A sepa la respuesta. No estoy enumerando todos los 85 de esos pares, pero algunos de ellos son:
(2,9)
(3,8)
(4,7)
(4,19)
(7,16)
(10,13)
…
…
(24,29)
(25,28)
(26,27)

Permítanme también explicar la lógica detrás del programa que escribí para llegar a esta respuesta:

1. B conoce la suma. Entonces B puede determinar el conjunto de pares de números que se suman a la suma dada. Tiene que haber al menos dos pares de números, porque B no sabe la respuesta al principio.

2. Usando todos los pares de números posibles, B puede determinar el conjunto de todos los productos posibles, uno de los cuales es lo que A sabe.

3. Para cada uno de estos posibles productos, B puede determinar todos los pares de factores posibles. Ninguno de estos productos puede tener solo un par de factores, porque B está seguro de que A tampoco sabe la respuesta.

Ahora podemos determinar un conjunto P de todos los pares de números posibles que satisfagan las tres condiciones mencionadas anteriormente. A dice después que él sabe la respuesta, lo que da lugar a la siguiente condición.

4. De todos los posibles factores del producto que A conoce, solo uno pertenece a P.

Entonces B dice que también sabe la respuesta. Esto significa,

5. Que de todos los pares de números que pueden formar la suma que conoce, solo uno cumple la condición # 4.

PD: ¡No puedo creer que haya pasado 3 horas luchando para responder esta pregunta!

Answer 2

Para empezar, podemos decir que la suma podría ser cualquiera en el intervalo [4, 198]. 4 es el más pequeño y 198 es la suma más grande posible de dos enteros elegidos del intervalo [2, 99]. Llamemos a este conjunto de sumas posibles como nuestras posibles sumas establecidas.

AL PRIMERO, NADIE SABE LA RESPUESTA

Análisis: esto solo es posible si el producto tiene más de un solo par de factores, y eso significa que no es un producto de dos primos. Un producto que puede ser factorizado en dos números primos, tiene solo ese par único como sus factores. Por ejemplo, 35 = 5 * 7. Tanto 5 como 7 son primos, y no hay otro par de factores para 35 (ignorando 1 y 35 en sí).

A: NO SÉ. PERO estoy seguro de que B NO LO SABE TAMBIÉN
Análisis: El hecho de que A supiera que B no conoce los dos enteros significa que sabía que su suma no se puede escribir como la suma de dos números primos. De lo contrario, no habría estado tan seguro. Por ejemplo, si la suma hubiera sido 12, el par de sumas para ella en el intervalo [2, 99] son, (2, 10), (3, 9), (4, 8), (5, 7), (6, 6). Uno de estos pares, (5, 7) consiste en dos números primos. A no puede estar seguro de que a B no se le haya dado un producto de estos dos, y por lo tanto no habría pasado este comentario.
Esto conduce además al hecho de que la suma no es un número par. Porque cada número par puede escribirse como una suma de dos números primos (la conjetura de GoldBach). Así que la suma es impar, lo que significa que uno de los dos enteros es un impar, y el otro es un par.
Esto elimina todos los números pares de nuestro posible conjunto de sumas. También elimina todos los números impares que se pueden escribir como suma de 2 y otro primo.
B : ahora conozco a los integrantes
Análisis: dado que esta información fue de ayuda para B. Es decir, su producto tiene solo un par de factores que consiste en un par y un número par, que no se puede agregar para dar una suma que se puede escribir como una suma de dos primos
A: AHORA SÉ TAMBIÉN
Análisis: Dado que A también calcula los dos números, significa que su suma tiene solo un par de sumas, que cuando se multiplica, da un producto que tiene solo un par de factores que consiste en un par y un par, que puede ‘ t se agrega para obtener una suma que se puede escribir como una suma de dos números primos.
Eso es demasiado de “eso” s. Déjame aclarar con un ejemplo. 41 como suma tiene (4, 37) como su par de sumas, y 4 * 37 = 148, que tiene (2, 74) y (4, 37) como dos pares de factores. Ahora B, si se le dio 148 como producto, podría haber identificado (4, 37) como el par de enteros desconocidos. Pero, A no habría podido, después de eso. Porque 41 como una suma da más de una suma posible que puede multiplicarse para dar tales productos. Uno es (4, 37), el otro es (7, 34), que da 238 como producto, teniendo (7, 34) y (14, 17) como posibles factores. Par de (14, 17) no pudo haber sido la elección de B porque da una suma, 14 + 17 = 31 que se puede escribir como una suma de (2, 29), ambos números primos. Por lo tanto, A no pudo estar seguro de cuál de los dos (4, 37) y (7, 34) lo fue por su suma de 41, que B dedujo como números desconocidos.
Esto nos deja con un solo par de enteros como la posible solución: (4, 13).

Por supuesto que no hice todos los cálculos anteriores a mano, es demasiado para eso. Escribí un programa corto en C ++ para ayudarme con los cálculos,

Answer 3

Bien, por lo que sabemos por primera vez que la suma de los dos números debe ser tal que no haya dos números primos que se sumen a ese número.

(Dado que Goldbach se verifica para n <100), sabemos que la suma debe ser un número impar sin primos 2 menos. (Es decir, n-2 no es un primo). Eso es, todos los números impares excepto: (si un primo fuera 2 menos que la suma, entonces el producto podría haber sido 2 * p, que tiene solo una factorización)
(3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,77,71,73,79,83,89,97 ,. .) + 2
5,7,9,13,15,19,21,25,31,33,39,43,45,49,55,61,63,79,73,75,81,85,91,99,…

Así que nuestras posibles sumas son:
3,11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,77,77,77,79,83,87,89,93,95,97…

(eso es un montón de números, sube a 198)

Bien, entonces la segunda declaración puede ser usada ahora.

Hay algunas posibilidades cuando la segunda declaración se usa junto con la primera.
Caso 1: El producto tiene solo una factorización de suma impar y muchas factorizaciones de suma par. Esto es mas facil 😛

Caso 2: La otra posibilidad es que el número tenga más de una factorización impar, pero solo una de ellas no se elimina. Esto es mucho trabajo de caso.

C1:
El número es de la forma [math] 2 ^ kp [/ math], donde p es primo. La suma es [math] 2 ^ k + p [/ math]. (k> 1)

C2:
Observe que los números impares compuestos más dos están todos en la lista “posible”.

De acuerdo, dejemos eso de lado y consideremos la tercera afirmación ahora:
El número de números que pueden cumplir los requisitos (C1 o C2) debe ser lo suficientemente bajo como para señalar el número.

Supongamos que la suma fuera 11; tenemos tanto (4,7) como (3,8) que se ajustan al Caso 1, por lo que esto no puede ser posible.
Supongamos que la suma fuera 17; tenemos (4,13) ajuste al Caso 1, y nada se ajusta al caso 2 (prueba esto), así que esto es posible.
Supongamos que la suma fuera 23; tenemos ambos (4,19) y (16,7) ajustados al Caso 1, por lo que esto no es posible.
Supongamos que la suma fuera 27; tenemos tanto (4,23) como (8,19) que se ajustan al Caso 1, por lo que no es posible.
Supongamos que la suma fuera 29; tenemos (16,13) ajuste el Caso 1, y (2,27) ajuste el Caso 2, por lo que esto no es posible.
Supongamos que la suma fuera 35; tenemos (16,19) ajuste el Caso 1, y (4,31) ajuste el Caso 1 por lo que esto no es posible.
(y así…)

Para la mayoría de estos, solo necesita verificar el caso 1. Observe que cualquier cosa con 2 * prime prime no se ajustará al caso 2.

Hasta ahora sabemos que 4,13 funciona, por lo que, suponiendo que la pregunta tenga solo una solución (: P), la respuesta es 4,13

Comprobación:
1. B: 17 => no hay descomposición principal
2. A: 52 => B es impar, por lo que solo 4,13 funciona
3. B: (8 * 9) => 24 + 3 = 27, (12 * 5) => 20 + 3 = 23, nada más en el caso 1 o 2.

Entonces 17 es una posible respuesta a esta pregunta. Continuando con la verificación ayudaría.